Um festzustellen, ob eine Folge konvergiert oder divergiert, muss man die Grenzwerte der Folge betrachten. Wenn die Grenzwerte existieren und gleich sind, konvergiert die Folge gegen diesen Wert. Wenn die Grenzwerte nicht existieren oder unterschiedlich sind, divergiert die Folge. **

Um die Konvergenz einer Folge zu untersuchen, kann man verschiedene Methoden anwenden. Eine Möglichkeit ist die Berechnung der Grenzwerte von Teilfolgen. Wenn alle Teilfolgen den gleichen Grenzwert haben, konvergiert die Folge. Eine andere Methode ist die Untersuchung des Verhaltens der Folge für große Folgenglieder. Wenn die Folge für große n gegen einen bestimmten Wert strebt, konvergiert sie. Man kann auch den Cauchy-Kriterium verwenden, um die Konvergenz einer Folge zu überprüfen. **

Um die Konvergenz einer Folge zu bestimmen, betrachtet man das Verhalten der Folgenglieder für große Indexwerte. Wenn die Folge gegen einen bestimmten Grenzwert strebt, ist sie konvergent. Man kann dies durch verschiedene Methoden überprüfen, wie zum Beispiel die Betrachtung von Teilfolgen, den Vergleich mit bekannten konvergenten Folgen oder die Anwendung des Grenzwertsatzes. **

Um die Konvergenz einer Folge zu beweisen, muss man zeigen, dass die Folge einen Grenzwert hat. Dazu kann man verschiedene Methoden verwenden, wie z.B. den Sandwichsatz, den Cauchy-Kriterium oder den Monotoniekriterium. Man zeigt, dass die Folge ab einem bestimmten Index hinreichend nahe an den Grenzwert herankommt und dass die Abstände zwischen den Folgengliedern beliebig klein werden. **

Die Konvergenz einer rekursiv definierten Folge beschreibt, ob und gegen welchen Wert die Folge strebt, wenn man immer weiter Elemente der Folge berechnet. Eine Folge konvergiert, wenn sie gegen einen bestimmten Grenzwert strebt, ansonsten divergiert sie. **

Die Konvergenz des Betrags einer Folge ist definiert als die Konvergenz des absoluten Werts der einzelnen Folgenglieder. Das bedeutet, dass eine Folge konvergiert, wenn der Betrag der Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern gegen Null strebt. **

Um die Konvergenz einer Folge zu beweisen, kann man verschiedene Methoden verwenden. Eine Möglichkeit ist der sogenannte epsilon-delta-Beweis, bei dem man zeigt, dass für jedes beliebig kleine positive epsilon ein Index N existiert, ab dem alle Folgenglieder innerhalb eines Abstands von epsilon um den Grenzwert liegen. Eine andere Methode ist der Monotoniekriterium, bei dem man zeigt, dass die Folge entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist und eine obere bzw. untere Schranke besitzt. Schließlich kann man auch den Cauchy-Konvergenztest verwenden, bei dem man zeigt, dass für jedes beliebig kleine positive epsilon ein Index N existiert, ab dem alle Folgenglieder innerhalb eines Abstands von epsilon voneinander liegen. **

Um eine divergente Folge auf Konvergenz zu untersuchen, kann man verschiedene Methoden verwenden. Eine Möglichkeit ist es, die Grenzwerte der Teilfolgen zu betrachten. Wenn alle Teilfolgen denselben Grenzwert haben, konvergiert die Folge. Eine andere Methode ist die Betrachtung des Verhaltens der Folge für große Indexwerte. Wenn die Folge für große Indexwerte gegen unendlich strebt oder sich zwischen zwei Werten hin und her bewegt, ist sie divergent. **